Question

（本小題滿分14分）

在如圖所示的多面體中，⊥平面， ,，，

，，，是的中點．

（1）求證：；

（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

（1） 解法1

 

 

證明：∵平面，平面，

∴，                                

又，平面，

∴平面.     …………2分

過作交于，則平面.

∵平面，

∴.            …………4分

∵，∴四邊形平行四邊形，

∴，

∴，又，

∴四邊形為正方形，

∴，                                        ……………6分

又平面，平面,

∴⊥平面.                            ………………………7分

∵平面,

∴.                             ………………………8分

（2）∵平面，平面

∴平面⊥平面

由（1）可知

∴⊥平面

∵平面

∴                              ……………………9分

取的中點，連結，

∵四邊形是正方形，

∴

∵平面，平面

∴⊥平面

∴⊥[來源:學|科|網Z|X|X|K]

∴是二面角的平面角，    ………………………12分

由計算得

∴            ………………………13分

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.………………………14分

解法2

∵平面，平面，平面，

∴，，

又,

∴兩兩垂直.   ……………………2分

以點E為坐標原點，分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

 

 

由已知得，（0，0，2），（2，0，0），

（2，4，0），（0，3，0），（0，2，2），

（2，2，0）.      …………………………4分

∴，，………6分

∴,    ………7分

∴.    …………………………8分

（2）由已知得是平面的法向量.       ………………………9分

設平面的法向量為，

∵，

∴，即，令,得. ……………12分

設平面與平面所成銳二面角的大小為，

則  …………………………13分

∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.  …………………………14分

【解析】略