Question

如圖，已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且，（1）證明： ；

（II）假定CD=2，，記面為α，面CBD為β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；

（III）當的值為多少時，能使？請給出證明.

Answer 1

（1）證明見解析。

（II）

（III）當時，能使。證明見解析。

解析:

（I）證明：連結、AC，AC和BD交于.，連結， ∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD， 可證，，

故，但AC⊥BD，所以，從而；　　　　　　　　　　　　

（II）解：由（I）知AC⊥BD，，是二面角α—BD—β的平面角，在中，BC=2，，，　　∵∠OCB=60°，，，故C₁O=，即C₁O=C₁C，作，垂足為H，∴點H是.C的中點，且，所以;

（III）當時，能使

證明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱錐是正三棱錐