Question

如圖直角梯形OABC中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系O-xyz．
（1）求

SC

與

OB

的夾角α的大小（用反三角函數表示）；
（2）設

n

=（1，p，q），滿足

n

⊥平面SBC，求：
①

n

的坐標；
②OA與平面SBC的夾角β（用反三角函數表示）；
③O到平面SBC的距離．
（3）設

k

=(1，r，s)滿足

k

⊥

SC

且

k

⊥

OB

．填寫：
①

k

的坐標為

 

．
②異面直線SC、OB的距離為

 

．（注：（3）只要求寫出答案）

Answer 1

分析：（I）根據已知中，∠COA=∠OAB=

π

2

，OC=2，OA=AB=1，SO⊥平面OABC，SO=1，我們求出各頂點的坐標，進而求出向量

SC

與

OB

的坐標，代入向量夾角公式，即可得到結論．
（II）①由已知中得向量

n

=（1，p，q）為平面SBC的法向量，根據法向量根平面內任一個向量均垂直，數量積均為0，構造方程組，即可求出

n

的坐標；②A與平面SBC的夾角β與OA的方向向量與

n

的夾角互余，求出OA的方向向量，代入即可得到結論；
（III）①根據兩向量垂直數量積為0，構造關于r，s的方程組，解方程組求出r，s，代入即可求出

k

的坐標；②由（I）中直線SC、OB的夾角，結合四面體S-OBC的體積，根據V=

1

6

•SC•OB•sinθ•d，（其中θ為兩條異面直線夾角，d為兩條異面直線的夾角），即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示：
C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）
∴

SC

=(2，0，-1)，

OB

=(1，1，0)
∴cos＜

SC

，

OB

＞=

2

5 • 2

=

10

5

，α=arccos

10

5

（4分）
（Ⅱ）①

SB

=(1，1，-1)，

CB

=(-1，1，0)∵

n

⊥SBC∴

n

⊥

SB

，

n

⊥

CB

，∴

n

•

SB

=1+p-q=0

n

•

CB

=-1+p=0，解得：p=1，q=2，∴

n

=(1，1，2)（7分）
②過O作OE⊥BC于E，則BC⊥面SOE，∴SOE⊥SAB又兩面交于SE，過O作OH⊥SE于H，則OH⊥SBC，延長OA與CB交于F，則OF=2
連FH，則∠OFH為所求
又OE=

2

，∴SE=

3

∴OH=

SO•OE

SE

=

1• 2

3

=

6

3

，
∴sinβ=

6 3

2

=

6

6

∴β=arcsin

6

6

(10分)
③由題設條件可得∠OBC是直角，可得出CB⊥面SOB，故CB⊥SB
又在直角三角形SOB內，可求得SB=

3

，在梯形OABC內，可求得BC=

2

，于是可得S△SBC=

6

2

又由題設條件得VS-OBC=

1

3

×

1

2

×1×2×1=

1

3

故由等體積法可得點O到面SBC的距離為

1 3

1 3 × 6 2

=

6

3

，
（III）

k

的坐標為（1，-1，2）；OH=

6

3

（14分）．

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求直線間夾角、距離，其中熟練掌握兩個向量垂直，數量積為0，及向量夾角公式是解答本題的關鍵．