Question

已知函數f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2-bx(a，b∈R)
（1）若x₁=-2和x₂=4為函數f（x）的兩個極值點，求函數f（x）的表達式；
（2）若f（x）在區間[-1，3]上是單調遞減函數，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用x₁=-2和x₂=4為函數f（x）的兩個極值點，可得f′（-2）=0，f′（4）=0，建立方程，即可求得函數f（x）的表達式；
（2）f（x）在區間[-1，3]上是單調遞減函數，可知x²+ax-b≤0在區間[-1，3]上恒成立，從而可得不等式，再將a-b用結論線性表示，即可求得結論．

解答：解：（1）求導函數，可得f′（x）=x²+ax-b
∵x₁=-2和x₂=4為函數f（x）的兩個極值點，
∴-2+4=-a，（-2）×4=-b
∴a=-2，b=8
∴f(x)=

1

3

x3-x2-8x，f′（x）=x²-2x-8；
（2）由f（x）在區間[-1，3]上是單調遞減函數，可知x²+ax-b≤0在區間[-1，3]上恒成立
∴

1-a-b≤0 9+3a-b≤0

，∴

a+b≥1 3a-b≤-9

令a-b=m（a+b）+n（3a-b），則

m+3n=1 m-n=-1

，∴

m=- 1 2 n= 1 2

∴-

1

2

（a+b）+

1

2

（3a-b）≤-5
∴a-b≤-5
∴a-b的最大值為-5．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．