Question

如圖所示，矩形ABCD的邊AB=a，BC=2，PA⊥平面ABCD，PA=2，現有數據：①a=

3

2

；②a=1；③a=

3

；④a=2；⑤a=4．
（1）當在BC邊上存在點Q，使PQ⊥QD時，a可能取所給數據中的哪些值，請說明理由；
（2）在滿足（1）的條件下，a取所給數據中的最大值時，求直線PQ與平面ADP所成角的正切值；
（3）記滿足（1）的條件下的Q點為Q_n（n=1，2，3，…），若a取所給數據的最小值時，這樣的點Q_n有幾個，試求二面角Q_n-PA-Q_n+1的大小．

Answer 1

分析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），設Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)，由此能求出a的可能取值．
（2）a=1時，x=1，點Q的坐標為（1，1，0），從而

PQ

=(1，1，-2)，又

AB

=(1，0，0)為平面ADP的一個法向量，
所以cos?

PQ

，

AB

＞=

PQ • AB

| PQ |×| AB |

=

1

6 ×1

=

6

6

，由此能求出直線PQ與平面ADP所成角的正切值．
（3）a=

3

2

時，x=

1

2

或x=

3

2

，即滿足條件的點Q有兩個，其坐標為Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)．由PA⊥平面ABCD，知PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，所以∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 • AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，知二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30．

解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則各點坐標分別為：
A（0，0，0，），B（a，0，0），C（a，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
設Q（a，x，0）．（0≤x≤2）

（1）∵

PQ

=(a，x，-2)，

QD

=(-a，2-x，0)，
∴由PQ⊥QD得

PQ

⊥

QD

⇒-a2+x(2-x)=0⇒a2=x(2-x)
∵x∈[0，2]，
a²=x（2-x）∈（0，1]
∴在所給數據中，
a可取a=

3

2

和a=1兩個值．
（2）由（1）知a=1，
此時x=1，即Q為BC中點，
∴點Q的坐標為（1，1，0）
從而

PQ

=(1，1，-2)，
又

AB

=(1，0，0)為平面ADP的一個法向量，
∴cos?

PQ

，

AB

＞=

PQ • AB

| PQ |×| AB |

=

1

6 ×1

=

6

6

，
∴直線PQ與平面ADP所成角的正切值為

5

5

．
（3）由（1）知a=

3

2

，
此時x=

1

2

或x=

3

2

，
即滿足條件的點Q有兩個，
其坐標為Q1(

3

2

，

1

2

，0)和Q2(

3

2

，

3

2

，0)
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AQ₁，PA⊥AQ₂，
∴∠Q₁AQ₂就是二面角Q₁-PA-Q₂的平面角．
由cos?

AQ1

，

AQ2

＞=

AQ1 • AQ2

| AQ1 |×| AQ2 |

=

3 4 + 3 4

1× 3

=

3

2

，
得∠Q₁AQ₂=30？，
∴二面角Q₁-PA-Q₂的大小為30．

點評：本題考查空間角的求法，解題時要認真審題，恰當地建立空間直角坐標系，注意向量法的合理運用．