Question

已知函數f（x）=

x-a

lnx

，其中a為實數．
（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）是否存在實數a，使得對任意x∈（0，1）∪（1，+∞），f（x）＞

x

恒成立？若不存在，請說明理由，若在，求出a的值并加以證明．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義k=f′（2），切線方程y-f（2）=k（x-2）
（2）由f（x）＞

x

恒成立?a＞x-

x

lnx（0＜x＜1），a＜x-

x

lnx  (x＞1)，構造函數g(x)=x-

x

lnx(x＞0)，利用導數研究函數g（x）在區間（0，1）上的最大值M，在區間（1，+∞）上的最小值m，則

a≥M a≤m

解答：解：（1）a=2時，f（x）=

x-2

lnx

，
f′（x）=

xlnx-x+2

xln2x

，f′（2）=

1

ln2

，（2分）
又f（2）=0
所以切線方程為y=

1

ln2

（x-2）（2分）
（2）1°當0＜x＜1時，lnx＜0，則

x-a

lnx

＞

x

?a＞x-

x

lnx
令g（x）=x-

x

lnx，g′（x）=

2 x -2-lnx

2 x

，
再令h（x）=2

x

-2lnx，h′（x）=

1

x

-

1

x

=

x -1

x

＜0
當0＜x＜1時h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上遞減，
∴當0＜x＜1時，h（x）＞h（1）=0，
∴g′（x）=

h(x)

2 x

＞0，
所以g（x）在（0，1）上遞增，g（x）＜g（1）=1，
所以a≥1（5分）
2°x＞1時，lnx＞0，則

x-a

lnx

＞

x

?a＜x-

x

lnx?＜g（x）
由1°知當x＞1時h′（x）＞0，h（x）在（1，+∞）上遞增
當x＞1時，h（x）＞h（1）=0，g′（x））=

h(x)

2 x

＞0
所以g（x）在（1，+∞）上遞增，∴g（x）＞g（1）=1
∴a≤1；（5分）
由1°及2°得：a=1．（1分）

點評：本題考查了導數的幾何意義及過曲線上一點的切線方程的求解，而恒成立的問題往往轉化為求函數的最值問題，若a≥f（x）恒成立?a≥f（x）_max，a≤f（x）恒成立?a≤f（x）_min，體現數學的轉化思想在解題中的運用．