Question

證明：

2(cosα-sinα)

1+sinα+cosα

=

cosα

1+sinα

-

sinα

1+cosα

．

Answer 1

分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運用分析法，即要證

A

B

=

C

D

，只要證A•D=B•C，從而將分式化為整式．

解答：解：證法一：右邊=

cosα+cos2α-sinα-sin2α

(1+sinα)(1+cosα)

=

(cosα-sinα)(1+cosα+sinα)

1+sinα•cosα+sinα+cosα

=

2(cosα-sinα)(1+cosα+sinα)

2(1+sinα+cosα+sinαcosα)

=

2(cosα-sinα)(1+cosα+sinα)

1+sin2α+cos2α+2sinα+2cosα+2sinαcosα

=

2(cosα-sinα)

(1+sinα+cosα)

=左邊
證法二：要證等式，即為

2(cosα-sinα)

1+sinα+cosα

=

(cosα-sinα)(1+sinα+cosα)

(1+sinα)(1+cosα)

只要證2（1+sinα）（1+cosα）=（1+sinα+cosα）²
即證：2+2sinα+2cosα+2sinαcosα=1+sin²α+cos²α+2sinα+2cosα+2sinαcosα，
即1=sin²α+cos²α，顯然成立，
故原式得證．

點評：在進行三角函數的化簡和三角恒等式的證明時，需要仔細觀察題目的特征，靈活、恰當地選擇公式，利用倒數關系比常規的“化切為弦”要簡潔得多．同角三角函數的基本關系式有三種，即平方關系、商的關系、倒數關系．