Question

 （本小題滿分14分）設函數f (x)滿足f (0) =1，且對任意，都有f (xy+1) = f (x) f (y)－f (y)－x+2．(I)       求f (x) 的解析式；(II)   若數列{a_n}滿足：a_n+1=3f (a_n)－1(n ?? N^*)，且a₁=1，求數列{a_n}的通項公式；

(Ⅲ)求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ) a_n = 2×3^n－1－1（Ⅲ）3ⁿ－n－2

解析:

(I) ∵ f (0) =1．

    令x=y=0得 f (1) = f (0) f (0)－f (0)－0+2=2   

    再令y=0得， 

   所以   5分

(II) ∵，∴a_n+1=3f (a_n)－1= 3a_n+2,  

   ∴a_n+1+1=3(a_n+1），   

   又a₁+1=2，∴數列{a_n+1} 是公比為3的等比數列      

   ∴a_n +1= 2×3^n－1 ，即a_n = 2×3^n－1－1   10分

(III) S_n = a₁ + a₂ + … + a_n

      =2×(3⁰+3¹+3²+ × × × × × × + 3^n－1)－n

      =3ⁿ－n－2      14分