Question

【題目】已知圓的方程為：

（1）過點作圓的切線，求切線方程

（2）過點作直線與圓交于、，且，求直線方程.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或.

【解析】

（1）分切線的斜率存在與不存在兩種情況討論，在切線與軸垂直時，得出直線的方程，驗證圓心到直線的距離是否等于半徑，在切線斜率存在的情況下，設切線方程為，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出的值，從而可得出切線方程；

（2）利用幾何法計算出弦心距，分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，在直線的斜率不存在時，得出直線的方程為，驗證圓心到直線是否等于弦心距，在直線的斜率存在時，可設直線的方程為，利用圓心到直線的距離等于弦心距求出的值，由此可得出直線的方程.

（1）若切線與軸垂直時，則切線的方程為，此時圓的圓心到直線的距離為，不合乎題意；

若切線的斜率存在時，設切線的方程為，即.

由題意可得，整理得，

整理得，解得或.

因此，所求切線方程為或，即或；

（2）由題意可知，圓心到直線的距離為.

若直線的斜率不存在，則直線的方程為，此時圓心到直線的距離為，合乎題意；

若直線的斜率存在，設直線的方程為，即.

由題意可得，整理得，解得.

因此，直線的方程為或，即或.