Question

已知方程x²+ax+b=0，a，b為常數(shù)．
（Ⅰ）若a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2}，求方程的解的個數(shù)ξ的期望；
（Ⅱ）若a，b在[0，2]內等可能取值，求此方程有實根的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意得到基本事件總數(shù)為12，并且分別求出：當方程x²+ax+b=0沒有解時，方程x²+ax+b=0有一解時，方程x²+ax+b=0有兩解時，包含的基本事件數(shù)以及其發(fā)生的概率，進而得到分布列求出期望．
（2）由題意可得：試驗的全部結果構成區(qū)域是一個矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×2=4，并且寫出所求事件構成的區(qū)域以及其面積S_M=

2

3

，進而求出答案．

解答：解：（1）a取集合{0，1，2}中任一元素，b取集合{0，1，2，3}中任一元素，
∴a、b的取值情況有（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），
其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值，基本事件總數(shù)為12．
當方程x²+ax+b=0沒有解時，即△=a²-4b＜0，此時a、b的取值情況有（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，2），（2，3），包含的基本事件數(shù)為8．
當方程x²+ax+b=0有一解時，即△=a²-4b=0，此時a、b的取值情況有（0，0），（2，1），包含的基本事件數(shù)為2．
當方程x²+ax+b=0有兩解時，即△=a²-4b＞0，此時a、b的取值情況有（1，0），（2，0），包含的基本事件數(shù)為2．
由題意知用隨機變量ξ表示方程x²+ax+b=0實根的個數(shù)，所以得到ξ=0，1，2
所以P(ξ=0)=

8

12

=

2

3

，P(ξ=1)=

2

12

=

1

6

，P(ξ=2)=

2

12

=

1

6

，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
p	2 3	1 6	1 6

∴ξ的數(shù)學期望為Eξ=0×

2

3

+1×

1

6

+2×

1

6

=

1

2

．
（2）∵a從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)，b從區(qū)間[0，2]中任取一個數(shù)
則試驗的全部結果構成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2}這是一個矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×2=4，
設“方程x²+ax+b=0有實根”為事件A，
則事件A構成的區(qū)域為M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤2，a²-4b≥0}，由積分公式可得其面積S_M=

2

3

．
由幾何概型的概率計算公式可得：方程有實根的概率P（A）=

2 3

4

=

1

6

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，以及幾何概率模型．