Question

已知函數f(x)＝ (a∈R)．
(1)求f(x)的極值；
(2)若函數f(x)的圖象與函數g(x)＝1的圖象在區間(0，e²]上有公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）f(x)在x＝e^1－a處取得極大值，f(x)_極大值＝f(e^1－a)＝e^a－1，無極小值
（2）[1，＋∞)

(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝，
令f′(x)＝0得x＝e^1－a，
當x∈(0，e^1－a)時，f′(x)>0，f(x)是增函數；
當x∈(e^1－a，＋∞)時，f′(x)<0，f(x)是減函數，
∴f(x)在x＝e^1－a處取得極大值，f(x)_極大值＝f(e^1－a)＝e^a－1，無極小值．
(2)①當e^1－a<e²時，即a>－1時，
由(1)知f (x)在(0，e^1－a)上是增函數，在(e^1－a，e²]上是減函數，
∴f(x)_max＝f(e^1－a)＝e^a－1，
又當x＝e^－a時，f(x)＝0，
當x∈(0，e^－a]時，f(x)<0；當x∈(e^－a，e²]時，f(x)>0；
∵f(x)的圖象與g(x)＝1的圖象在(0，e²]上有公共點，
∴e^a－1≥1，解得a≥1，又a>－1，所以a≥1.
②當e^1－a≥e²時，即a≤－1時，f(x)在(0，e²]上是增函數，
∴f(x)在(0，e²]上的最大值為f(e²)＝，
所以原問題等價于≥1，解得a≥e²－2.
又a≤－1，所以此時a無解．
綜上，實數a的取值范圍是[1，＋∞)．