Question

設函數f（x）=e^x（sinx-cosx），若0≤x≤2011π，則函數f（x）的各極大值之和為

 

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Answer 1

分析：先求出其導函數，利用導函數得到其單調區間以及其極大值點，進而求出其極大值；再利用等比數列的求和公式求出函數f（x）的各極大值之和即可．

解答：解：因為函數f（x）=e^x（sinx-cosx），
所以：f'（x）=[e^x（sinx-cosx）]'=e^x（sinx-cosx）+e^x（cosx+sinx）=2e^xsinx．
f'（x）=0?x=kπ，
當2kπ≤x≤2kπ+π時，f'（x）＞0，原函數遞增
當2kπ+π＜x≤2kπ+2π時，f'（x）＜0，原函數遞減．
∴x=2kπ+π時，函數f（x）取極大值此時f（2kπ+π）=e^2kπ+π[sin（2kπ+π）-cos（2kπ+π）]=e^2kπ+π．
又∵0≤x≤2011π
∴函數f（x）的各極大值之和為：e^π+e^3π+e^5π+…+e^2011π=

eπ(1-(e2π)1006)

1-e2π

=

eπ(1-e2012π)

1-e2π

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故答案為：

eπ(1-e2012π)

1-e2π

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點評：本題主要考查利用導數研究函數的極值以及等比數列求和公式的應用．在求函數的極大值時，須注意極大值兩側導函數值是先正后負，原函數是先增后減．