Question

在三角形ABC，已知tan

A+B

2

=sinC，下列四個論斷中正確的是（　　）
①tanA•cotB=1；   ②0＜sinA+sinB≤

2

；   ③sin²A+cos²B=1；   ④cos²A+cos²B=sin²C．

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

Answer 1

∵tan

A+B

2

=sinC
∴

sin A+B 2

cos A+B 2

=2sin

A+B

2

cos

A+B

2

整理求得cos

A+B

2

=

2

2

∴A+B=90°．
∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正確．
∴sinA+sinB=sinA+cosA
=

2

sin（A+45°）
45°＜A+45°＜135°，

2

2

＜sin（A+45°）≤1，
∴1＜sinA+sinB≤

2

，
所以②正確
sin²A+cos²B=sin²A+sin²A=2sin²A≠1，③不正確．
cos²A+cos²B=cos²A+sin²A=1，
sin²C=sin²90°=1，
所以cos²A+cos²B=sin²C．
所以④正確．
故選B．