Question

如圖1，在直角梯形ABEF中（圖中數字表示線段的長度），將直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF⊥平面ABCD，連接部分線段后圍成一個空間幾何體，如圖2．
（Ⅰ）求證：BE∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱錐F-BCE的體積．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求證：BE∥平面ADF，先在平面ADF中取DF中點為G，作出線段AG，證明BE∥AG即可．
（Ⅱ）求三棱錐F-BCE的體積，轉化為V_B-CEF即可；也可以直接解答，求底面面積和高；還可以求V_E-CBF求底面面積和高，再求體積．

解答：證明：（Ⅰ）證法一：取DF中點為G，連接AG，EG中，
CE=

1

2

DF，
∴EG∥CD
且EG=CD（2分）
又∵AB∥CD且AB=CD，
∴EG∥AB且EG=AB，四邊形ABEG為平行四邊形，
∴BE∥AG（4分）
∵BE?平面ADF，AG?平面ADF，
∴BE∥平面ADF，（6分）
證法二：由圖1可知BC∥AD，CE∥DF，折疊之后平行關系不變．
∵BC?平面ADF，AD?平面ADF，
∴BC∥平面ADF，同理CE∥平面ADF（4分）
∵BC∩CE=C，BC，CE?平面BCE，∴平面BCE∥平面ADF．
∵BE?平面BCE，
∴BE∥平面ADF（6分）

（Ⅱ）解法1：∵V_F-BCE=V_B-CEF，由圖1可知BC⊥CD（8分）
∵平面DCEF⊥平面ABCD，平面DCEF∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF，（10分）
由圖1可知DC=CE=1S△CEF=

1

2

CE×DC=

1

2

∴VF-BCE=VB-CEF=

1

3

×BC×S△CEF=

1

6

（12分）
解法2：由圖可知CD⊥BC，CD⊥CE
∵BC∩CE=C，∴CD⊥平面BCE，
∵DF∥DC，點F到平面BCE的距離等于點D到平面BCE的距離為1，（8分）
由圖1可知BC=CE=1S△BCE=

1

2

BC×CE=

1

2

∴VF-BCE=

1

3

×CD×S△BCE=

1

6

（12分）
解法3：過E作EH⊥FC，垂足為H
由圖1可知BC⊥CD
∵平面DCEF⊥平面ABCD，
平面DCEF∩平面ABCD=CDBC?平面ABCD，
∴BC⊥平面DCEF，
∵EH?平面DCEF∴BC⊥EH，EH⊥平面BCF
由BC⊥FC，FC=

DC2+DF2

=

5

，S△BCF=

1

2

BC×DF=

5

2

，（10分）
在△CEF中，由等面積法可得EH=

1

5

，
∴VF-BCE=VE-BCF=

1

3

×EH×S△BCF=

1

6

（12分）

點評：本題考查棱柱、棱錐的體積，考查轉化思想，是中檔題．