Question

（2007•靜安區一模）（文）如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E、F分別是棱AB、AD的中點．求：
（1）異面直線BC₁與EF所成角的大小；
（2）三棱錐A₁-EFC的體積V．

Answer 1

分析：（1）因為點E、F分別是棱AB、AD的中點，所以EF∥BD⇒∠C₁BD是異面直線BC₁與EF所成的角；在△DBC₁中，求出∠C₁BD即可；
（2）先求出三角形EFC的面積，再根據A₁A即為三棱錐的高代入體積計算公式即可．

解答：解：（1）因為點E、F分別是棱AB、AD的中點，所以EF∥BD，
所以∠C₁BD是異面直線BC₁與EF所成的角． （4分）
在△DBC₁中，∠C₁BD=60°．
所以異面直線BC₁與EF所成角的大小為60°．               （8分）
（2）因為：S_△EFC=S_ABCD-S_△AEF-S_△CDF-S_△BCE=2×2-

1

2

×1×1-

1

2

×2×1-

1

2

×2×1=

3

2

．
∴VA1-EFC=

1

3

AA1•S△EFC=

1

3

×2×

3

2

=1．（14分）

點評：本題主要考查異面直線及其所成的角以及三棱錐的體積計算．解決第二問的關鍵在于對公式的熟練掌握．