Question

已知函數（x＞0）．

       （1）若a＝1，f（x）在（0，＋∞）上是單調增函數，求b的取值范圍；

       （2）若a≥2，b＝1，求方程在（0，1]上解的個數．

Answer 1

解：

①當0＜x＜2時，，．由條件，得恒成立，

即b≥x恒成立．∴b≥2．  …………… 2分

② 當x≥2時，，．由條件，得恒成立，

即b≥－x恒成立．∴b≥－2．…………… 4分

綜合①，②得b的取值范圍是b≥2． …………………… 5分

（2）令，即

當時，，．

∵，∴．則≥0．

即，∴在（0，）上是遞增函數．  ………………… 7分

當時，，＞0．∴在（，＋∞）上是遞增函數．又因為函數g（x）在有意義，∴在（0，＋∞）上是遞增函數．…… 10分

∵，而a≥2，∴，則＜0．∵a≥2，∴…… 12分

當a≥3時，≥0，∴g（x）＝0在上有惟一解．當時，<0，

∴g（x）＝0在上無解．……………… 14分