Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且對任意n∈N^*有a_n+S_n=n.
（1）設b_n=a_n-1,求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）設c₁=a₁且c_n=a_n-a_n-1 (n≥2)，求{c_n}的通項公式.

Answer 1

（1）證明見解析（2）c_n= ()ⁿ

（1）證明 由a₁+S₁=1及a₁=S₁得a₁=.
又由a_n+S_n=n及a_n+1+S_n+1=n+1得
a_n+1-a_n+a_n+1=1,∴2a_n+1=a_n+1.
∴2(a_n+1-1)=a_n-1,即2b_n+1=b_n.
∴數列{b_n}是以b₁=a₁-1=-為首項，
為公比的等比數列.                                            6分
（2）解 方法一 由（1）知2a_n+1=a_n+1.
∴2a_n=a_n-1+1 (n≥2),                                               8分
∴2a_n+1-2a_n=a_n-a_n-1,
∴2c_n+1=c_n (n≥2).
又c₁=a₁=,a₂+a₁+a₂=2,∴a₂=.
∴c₂=-=,即c₂=c₁.
∴數列{c_n}是首項為，公比為的等比數列.                        12分
∴c_n=·()^n-1=()ⁿ.                                       14分
方法二 由（1）b_n=(-)·()^n-1=-()ⁿ.
∴a_n=-()ⁿ+1.
∴c_n=-()+1-
=-=
=（n≥2）.                                      12分
又c₁=a₁=也適合上式，∴c_n=.                             14分