Question

數列{a_n}，已知對任意正整數n，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，則a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n² 等于（　　）

• A、（2ⁿ-1）²
• B、

  1

  3

  (2n-1)
• C、

  1

  3

  (4n-1)
• D、4ⁿ-1

Answer 1

分析：首先根據a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1，求出a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1，兩式相減即可求出數列{a_n}的關系式，然后求出數列{a_n²}的遞推式，最后根據等比數列求和公式進行解答．

解答：解：∵a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1…①
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=2^n-1-1…②，
①-②得a_n=2^n-1，
∴a_n²=2^2n-2，
∴數列{a_n²}是以1為首項，4為公比的等比數列，
∴a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1-4n

1-4

=

1

3

(4n-1)，
故選C．

點評：本題主要考查數列求和和求數列遞推式的知識點，解答本題的關鍵是求出數列{a_n}的通項公式，本題難度一般．