Question

已知函數f（x）=x²•e^ax，x∈R，其中e為自然對數的底數，a∈R．
（1）設a=-1，x∈[-1，1]，求函數y=f（x）的最值；
（2）若對于任意的a＞0，都有f(x)≤f′(x)+

x2+ax+a2+1

a

•eax成立，x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數先求出函數的極值，再將他與端點值比較，最大的極為最大值，反之極為最小值
（2）原命題等價于對任意a＞0，x2•eax≤2x•eax+ax2•eax+

x2+ax+a2+1

a

eax恒成立，即x2≤2x+ax2+

x2+ax+a2+1

a

對任意a＞0恒成立．將a分離出來得到a+

1

a

≥

x2-3x

x2+1

(a＞0)，求出a+

1

a

(a＞0)的最小值，
從而得到

x2-3x

x2+1

≤2即可

解答：解（1）當a=-1時，f（x）=x²•e^-x，x∈[-1，1]，
f′（x）=2xe^-x-x²e^-x=-x（x-2）e^-xf′（x）=0?x=0或x=2，
f（x），f′（x）隨x變化情況如下表：

∴x∈[-1，1]時，f_max（x）=e，f_min（x）=0
（2）命題等價于對任意a＞0，x²•e^ax≤2x•e^ax+ax²•e^ax+

x2+ax+a2+1

a

eax恒成立，
即x²≤2x+ax²+

x2+ax+a2+1

a

對任意a＞0恒成立．
(a+

1

a

)(x2+1)≥x2-3x，a+

1

a

≥

x2-3x

x2+1

（a＞0）
又∵a＞0∴a+

1

a

≥2

a• 1 a

=2
只需

x2-3x

x2+1

≤2?x≤-2或x≥-1．
綜上：x的取值范圍為x≤-2或x≥-1．

點評：本題考查了利用導數求閉區間上函數的最值，基本不等式，還有變量分離，屬于基礎題．