Question

已知△ABC的頂點A，B在橢圓x²+3y²=4上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求邊AB中點的軌跡方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）設AB所在直線的方程為y=x+m，將它代入橢圓方程消去y得到一個關于x的二元方程，再利用中點坐標公式結合根與系數的關系即可得邊AB中點的軌跡方程；
（2）欲求△ABC的面積，只須求出邊AB的長及高即可，利用（1）中的關于x的二元方程結合弦長公式可求得AB，又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，可求得三角形的高，從而求得面積；
（3）因∠ABC=90°，由勾股定理得|AC|²=|AB|²+|BC|²其中|AB|可求（1）中的方程結合弦長公式可求得，又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離也可距離公式求出，表示出斜邊AC的長后利用函數的最值求出其最大即可．

解答：解：（1）設AB所在直線的方程為y=x+m
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．（2分）
因為A、B在橢圓上，所以△=-12m²+64＞0.-

4 3

3

＜m＜

4 3

3

設A、B兩點坐標分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），中點為P（x₀，y₀）
則x1+x2=-

3m

2

，m=-

4

3

x0，y0=x0-

4

3

x0=-

1

3

x0
所以中點軌跡方程為y=-

1

3

x(-

3

＜x＜

3

，且x≠-

3

2

)（4分）

（2）∵AB∥l，且AB邊通過點（0，0），故AB所在直線的方程為y=x．
此時m=0，由（1）可得x=±1，所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

（6分）
又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離，所以h=

2

（8分）
S△ABC=

1

2

|AB|•h=2．（10分）

（3）由（1）得x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．（12分）
又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．（14分）
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當m=-1時，AC邊最長，（這時△=-12+64＞0）
此時AB所在直線的方程為y=x-1．（16分）

點評：本題主要考查了直線的一般式方程、軌跡方程、直線與圓錐曲線的綜合問題，突出考查了數形結合、分類討論、函數與方程、等價轉化等數學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高．