Question

已知函數y=

10x-1

10x+1

．
（1）寫出函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）試證明函數在定義域內是增函數．

Answer 1

分析：（1）根據函數的解析式，我們易求出使函數解析式有意義的自變量x的取值范圍，即函數的定義域；
（2）判斷f（-x）與f（x）的關系，根據函數奇偶性的定義，即可判斷函數的奇偶性；
（3）利用作差法，構造出f（x₁）-f（x₂）的表達式，再利用指數函數的值域、單調性等易判斷其符號，進而判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小，結合函數單調性的定義即可得到函數的單調性．

解答：解：（1）∵10^x+1＞0恒成立
∴函數的定義域R
（2）∵f（-x）=

10-x-1

10-x+1

=

1-10x

1+10x

=-f（x）
∴f（x）是奇函數
（3）設任意兩個變量x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

10x1-1

10x1+1

-

10x2-1

10x2+1

=

2(10x1-10x2)

(10x1+1)•(10x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在定義域內是增函數．

點評：本題考查的知識點是函數的定義域的求法，函數奇偶性的判斷與函數單調性的判斷及指數函數的值域和單調性，熟練掌握函數的各種性質及判斷方法是解答本題的關鍵．