Question

是否存在同時滿足下列條件的拋物線？若存在，求出它的方程；若不存在，請說明理由．
（1）準線是y軸；
（2）頂點在x軸上；
（3）點A（3，0）到此拋物線上動點P的距離最小值是2．

Answer 1

假設存在這樣的拋物線，頂點為（a，0），則方程為y²=4a（x-a）（a≠0），
設P（x₀，y₀），則y₀²=4a（x₀-a），
|AP|²=（x₀-3）²+y₀²=[x₀-（3-2a）]²+12a-8a²，
令f（a）=|AP|²，
①a＞0時，有x₀≥a，
當3-2a≥a即a∈（0，1]時，
|AP|²=f（3-2a），∴a=1或a=

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；
拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-

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）．
當3-2a＜a即a＞1時，|AP|²=f（a）．
∴a=5或a=1（舍），
拋物線方程為y²=20（x-5）．
②當a＜0時，顯然與已知矛盾，
∴所求拋物線方程為y²=4（x-1）或y²=2（x-

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）或y²=20（x-5）．