Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是DC的中點，取如圖所示的空間直角坐標系．
（1）寫出A、B₁、E、D₁的坐標；
（2）求AB₁與D₁E所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由已知中正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，E是DC的中點，易得到A、B₁、E、D₁的坐標；
（2）分別求出直線AB₁與D₁E方向向量的夾角，代入向量夾角公式，即可得到AB₁與D₁E所成的角的余弦值．

解答：解：（1）∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2
又∵E是DC的中點，
A（2，2，0），B₁（2，0，2），E（0，1，0），D₁（0，2，2）
（2）∵

AB1

=（0，-2，2），

ED1

=（0，1，2）
∴|

AB1

|=2

2

，|

ED1

|=

5

，

AB1

•

ED1

=0-2+4=2，
∴cos（

AB1

，

ED1

）=

AB1 • ED1

| AB1| • |ED1|

=

2

2 2 × 5

=

10

10

．
∴AB₁與ED₁所成的角的余弦值為

10

10

點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，其中建立坐標系，求出直線的方向向量，將異面直線夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．