Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=

x

，若對任意的x∈[a，a+2]不等式f（x+a）≥

3

f（x）恒成立，則a的最大值為

-4

．

Answer 1

分析：由當x≥0時，f（x）=

x

，由函數是奇函數，可得當x＜0時，f（x）=-

-x

，從而可知f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足

3

f（x）=f（3x），再根據單調性把不等式f（x+a）≥

3

f（x）轉化為具體不等式在[a，a+2]恒成立，分離參數轉化為函數最值，即可得出答案．

解答：解：當x≥0時，f（x）=

x

，
∵函數是奇函數，∴當x＜0時，f（x）=-

-x

，
∴f（x）=

x ，x≥0 - -x ，x＜0

，
∴f（x）在R上是單調遞增函數，且滿足

3

f（x）=f（3x），
∵不等式f（x+a）≥

3

f（x）=f（3x）在[a，a+2]恒成立，
∴x+a≥3x在[a，a+2]恒成立，即：x≤

a

2

在[a，a+2]恒成立，
∴a+2≤

a

2

，解得a≤-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查了函數恒成立問題及函數的奇偶性、單調性的應用，難度適中，關鍵是掌握函數的單調性與奇偶性．