Question

已知f（x）=，數列{a_n}為首項是1，以f（1）為公比的等比數列；數列{b_n}中b₁=，且b_n+1=f（b_n），
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式
（2）令，{c_n}的前n項和為T_n，證明：對?n∈N₊有1≤T_n＜4．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=，知f（1）=，，由b₁=，且b_n+1=f（b_n），得，由此能求出數列{a_n}和{b_n}的通項公式．
（2）由=n•，知，再由錯位相減法能夠求出結果．
解答：解：（1）∵f（x）=，
∴f（1）==，
∵{a_n}為首項是1，以f（1）為公比的等比數列，
∴，
∵b₁=，且b_n+1=f（b_n），
∴b_n+1=f（b_n）=，兩邊同時取倒數，
得=1+，
∴，
∴為等差數列，
故．
（2）∵=n•，
∴，
，
兩式相減整理，得，
∵＞0，
∴＜4，
∵
=
=，
∴{T_n}單調遞增，
∴{T_n}_min=T₁=1，
所以1≤T_n＜4．
點評：本試題主要考查等比數列和等差數列的通項公式的求解以及數列求和的綜合運用．解決該試題的關鍵是整體構造等差數列法，以及錯位相減法的準確運用．