Question

（2009•湖北模擬）已知數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3），令bn=

1

anan+1

（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）令T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…b_n•2^n-1，
求證：①對于任意正整數n，都有Tn＜

1

6

．②對于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀時，T_n＞m．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），所以a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3），由此能夠求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）①由于bn•2n-1=

1

(2 n+1)(2n+1 +1)

•2n-1=

1

2

•

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2 n+1

-

1

2n+1+1

)．由此能夠證明對于任意正整數n，都有Tn＜

1

6

．
②若T_n＞m，其中m∈(0，

1

6

)，則有

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞m，則2n+1＞

3

1-6m

-1，故n＞log2(

3

1-6m

-1)-1＞0，由此能夠證明對于任意的m∈(0，

1

6

)，均存在n₀∈N^*，使得n≥n₀時，T_n＞m．

解答：解：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3），
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）…（1分）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2^n-1+2^n-2+…+2²+2+1+2
=2ⁿ+1，n≥3．…（3分）
檢驗知n=1，2時，結論也成立
故a_n=2ⁿ+1．…（4分）
（Ⅱ） ①由于bn•2n-1=

1

(2 n+1)(2n+1 +1)

•2n-1
=

1

2

•

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2 n+1

-

1

2n+1+1

)．
故T_n=b₁+b₂•2+b₃•2²+…+b_n•2^n-1
=

1

2

(

1

1+2

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)
＜

1

2

-

1

1+2

=

1

6

．…（9分）
②若T_n＞m，其中m∈(0，

1

6

)，則有

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)＞m，
則2n+1＞

3

1-6m

-1，
故n＞log2(

3

1-6m

-1)-1＞0，
取n0=[log2(

3

1-6m

-1)-1]+1
=[log2(

3

1-6m

-1)]（其中[x]表示不超過x的最大整數），
則當n＞n₀時，T_n＞m．…（14分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合運用，綜合性強，難度大，計算量大，比較繁瑣，容易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．