Question

下列四個命題中：
①函數f（x）=lnx-2+x在區間（1，e）上存在零點；
②若f′（x）=0，則函數y=f（x）在x=x處取得極值；
③當m≥-1時，則函數的值域為R；
④“a=1”是“函數在定義域上是奇函數”的充分不必要條件；
其中真命題是    ．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

【答案】分析：①根據函數零點的判定定理可得①正確；
②通過舉反例可得②不正確；
③根據對數的真數可取遍所有的正實數，可得此對數函數的值域為R，故③正確．
④根據a=1時，函數在定義域上是奇函數，再根據函數在定義域上是奇函數時，a=1，可得④不正確．
解答：解：①對于函數f（x）=lnx-2+x，，∴函數在區間（1，e）上單調遞增，f（1）=-1，f（e）=e-1＞0，根據函數零點的判定定理可得，在區間（1，e）上存在零點，故①正確．
②不正確，如當f（x）=x³時，顯然滿足f′（0）=0，但y=f（x）=x³ 在x=0處沒有極值．
③m≥-1，函數的真數為x²-2x-m，判別式△=4+4m≥0，故真數可取遍所有的正實數，所以函數的值域為R，故③正確．
④由a=1可得f（x）=定義域為R，關于原點對稱=-f（x），故函數在定義域上是奇函數，故充分性成立．
函數在定義域上是奇函數，則有f（0）=0，∴a=1，故必要性成立，故“a=1”是“函數在定義域上是奇函數”的充分必要條件，故④不正確．
故真命題是①②③
故答案為：①②③
點評：本題考查命題的真假的判斷，考查學生分析解決問題的能力，所以中檔題．