Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c．若b²=ac，求y=

1+sin2B

sinB+cosB

的取值范圍．

Answer 1

分析：由a、b及c依次成等比數列，根據等比數列的性質得到b²=ac，然后根據余弦定理表示出cosB，把b²=ac代入后化簡，利用基本不等式即可求出cosB大于等于

1

2

，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值得到B的范圍，把所求的式子的分子中的“1”變為sin²B+cos²B，sin2B利用二倍角的正弦函數公式化簡，分子剛好為一個完全平方式，與分母約分后得到sinB+cosB，然后提取

2

，利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角（B+

π

4

）的正弦函數，根據B的范圍，求出B+

π

4

的范圍，根據正弦函數的值域及圖象，得到sin（B+

π

4

）的范圍，進而得到y的范圍．

解答：解：∵b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

=

1

2

（

a

c

+

c

a

）-

1

2

≥

1

2

．
∴0＜B≤

π

3

，
y=

1+sin2B

sinB+cosB

=

(sinB+cosB)2

sinB+cosB

=sinB+cosB=

2

sin（B+

π

4

）．
∵

π

4

＜B+

π

4

≤

7π

12

，
∴

2

2

＜sin（B+

π

4

）≤1．
故1＜y≤

2

．

點評：此題考查學生掌握等比數列的性質及正弦函數的值域，靈活運用余弦定理及同角三角函數間的基本關系化簡求值，靈活運用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡求值，是一道中檔題．