Question

【題目】對于自然數數組，如下定義該數組的極差：三個數的最大值與最小值的差.如果的極差，可實施如下操作：若中最大的數唯一，則把最大數減2，其余兩個數各增加1；若中最大的數有兩個，則把最大數各減1，第三個數加2，此為一次操作，操作結果記為，其級差為.若，則繼續對實施操作，…，實施次操作后的結果記為，其極差記為.例如：，.

（1）若，求和的值；

（2）已知的極差為且，若時，恒有，求的所有可能取值；

（3）若是以4為公比的正整數等比數列中的任意三項，求證：存在滿足.

Answer 1

【答案】（1）,,；（2）的取值僅能是2；（3）詳見解析．

【解析】

試題（1）由數組的極差的定義，可知，，這時三數為，第二次操作后，，這時三數為，第三次操作后，，，這時三數為，第四次操作后，，這時三數為，第五次操作后，，這時三數為，第六次操作后，，這時三數為，，第２０１４次操作后，，這時三數為；（2）已知的極差為且，這時極差最小值為，當時，這時是三個連續的正整數，即為，由（1）可知，通過變化后，所得數仍然是，所以數組的極差不會改變，即，符合題意，當，這時三個數，通過變化成，這是極差為，或，這樣就可以確定出的取值僅能是2；（3）若是以4為公比的正整數等比數列中的任意三項，求證：存在滿足，這時三數形式為，由二項式定理可知，故所以的極差是3的倍數，這樣根據極差的定義，通過操作，得到是一個公差為的等差數列，從而可得出結論.

（1）,,3分

（2）法一：

①當時，則

所以，，

由操作規則可知，每次操作，數組中的最大數變為最小數，最小數和次

小數分別變為次小數和最大數，所以數組的極差不會改變.

所以，當時，恒成立.

②當時，則

所以或

所以總有.

綜上討論，滿足的的取值僅能是2. 8分

法二：

因為，所以數組的極差

所以，

若為最大數，則

若，則

若，則，

當時，可得，即

由可得

所以

將代入得

所以當時，（）

由操作規則可知，每次操作，數組中的最大數變為最小數，最小數和次小

數分別變為次小數和最大數，所以數組的極差不會改變.

所以滿足的的取值僅能是2. 8分

（3）因為是以4為公比的正整數等比數列的三項，

所以是形如（其中）的數，

又因為

所以中每兩個數的差都是3的倍數.

所以的極差是3的倍數. 9分

法1：設，不妨設，

依據操作的規則，當在三元數組（，）中，總滿足是唯一最大數，是最小數時，一定有，解得.

所以，當時，.

，

依據操作的規則，當在三元數組（，）中，總滿足是最大數，是最小數時，一定有，解得.

所以，當時，.

，

所以存在，滿足的極差. 13分

法2：設，則

①當中有唯一最大數時，不妨設，則

，

所以

所以，若是3的倍數，則是3的倍數.

所以，則，，

所以

所以11分

②當中的最大數有兩個時，不妨設，則

，

所以，

所以，若是3的倍數，則是3的倍數.

所以，則，

所以.

所以當時，數列是公差為3的等差數列. 12分

當時，由上述分析可得，此時

所以存在，滿足的極差. 13分