Question

給出下列五個命題：
①函數y=2sin(2x-

π

3

)的一條對稱軸是x=

5π

12

；
②函數y=tanx的圖象關于點（

π

2

，0）對稱；
③正弦函數在第一象限為增函數；
④若sin(2x1-

π

4

)=sin(2x2-

π

4

)，則x₁-x₂=kπ，其中k∈Z．
以上四個命題中正確的有

 

（填寫正確命題前面的序號）

Answer 1

分析：把x=

5π

12

代入函數得  y=1，為最大值，故①正確．
由正切函數的圖象特征可得（

π

2

，0）是函數y=tanx的圖象的對稱中心，故②正確．
通過舉反例可得③是不正確的．
若 sin(2x1-

π

4

)=sin(2x2-

π

4

)，則有 2x₁-

π

4

=2kπ+2x₂-

π

4

，或 2x₁-

π

4

=2kπ+π-（2x₂-

π

4

），k∈z，
即 x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+

3π

4

，故④不正確．

解答：解：把x=

5π

12

代入函數得  y=1，為最大值，故①正確．
結合函數y=tanx的圖象可得點（

π

2

，0）是函數y=tanx的圖象的一個對稱中心，故②正確．
③正弦函數在第一象限為增函數，不正確，如390°＞60°，都是第一象限角，但sin390°＜sin60°．
若 sin(2x1-

π

4

)=sin(2x2-

π

4

)，則有  2x₁-

π

4

=2kπ+2x₂-

π

4

，或 2x₁-

π

4

=2kπ+π-（2x₂-

π

4

），k∈z，
∴x₁-x₂=kπ，或x₁+x₂=kπ+

3π

4

，k∈z，故④不正確．
故答案為①②．

點評：本題考查正弦函數的單調性、奇偶性、周期性、對稱性，掌握正弦函數的圖象和性質，是解題的關鍵，屬于中檔題．