Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-a|．
（1）若f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數(shù)a，m的值；
（2）當(dāng)a=2且t≥0時，解關(guān)于x的不等式f（x）+t≥f（x+2）．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≤m，可得a-m≤x≤a+m．再由f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，可得

a-m=-1 a+m=5

，由此求得實數(shù)a，m的值．
（2）當(dāng)a=2時，關(guān)于x的不等式即|x|-|x-2|≤t ①．令h（t）=|x|-|x-2|=

2 ， x≥2 2x-2 ，0＜x＜2 -2 ， x≤0

，可得函數(shù)h（x）的最大值和最小值．
分當(dāng)t≥2和0≤t＜2兩種情況，分別求得不等式的解集．

解答：解：（1）由于函數(shù)f（x）=|x-a|，由f（x）≤m可得-m≤x-a≤x+a，即a-m≤x≤a+m．
再由f（x）≤m的解集為{x|-1≤x≤5}，可得

a-m=-1 a+m=5

，解得 

a=2 m=3

．
（2）當(dāng)a=2時，f（x）=|x-2|，關(guān)于x的不等式f（x）+t≥f（x+2），即|x|-|x-2|≤t．
令h（t）=|x|-|x-2|=

2 ， x≥2 2x-2 ，0＜x＜2 -2 ， x≤0

，故函數(shù)h（x）的最大值為2，最小值為-2，不等式即 h（x）≤t．
①當(dāng)t≥2時，不等式 h（x）≤t恒成立，故原不等式的解集為R．
②當(dāng) 0≤t＜2時，（1）若x≤0，則h（x）=-2，h（x）≤t 恒成立，不等式的解集為{x|x≤0}．
                （2）若 0＜x＜2，此時，h（x）=2x-2，不等式即 2x-2≤t，解得 x≤

t

2

+1，即此時不等式的解集為 {x|0＜x≤

t

2

+1 }．
綜上可得，當(dāng)t≥2時，不等式的解集為R； ②當(dāng) 0≤t＜2時，不等式的解集為 {x|x≤

t

2

+1 }．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化和分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．