Question

學校操場邊有一條小溝,溝沿是兩條長150米的平行線段,溝寬為2米,，與溝沿垂直的平面與溝的交線是一段拋物線，拋物線的頂點為，對稱軸與地面垂直，溝深2米，溝中水深1米．
（Ⅰ）求水面寬；
（Ⅱ）如圖1所示形狀的幾何體稱為柱體，已知柱體的體積為底面積乘以高，求溝中的水有多少立方米？

（Ⅲ）現在學校要把這條水溝改挖(不準填土)成截面為等腰梯形的溝，使溝的底面與地面平行，溝深不變，兩腰分別與拋物線相切（如圖2），問改挖后的溝底寬為多少米時，所挖的土最少？

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）；（Ⅲ）;

解析試題分析：（Ⅰ）建立適當直角坐標系，設拋物線方程為，由拋物線過點，可得，可求出拋物線方程為，當時，，由求出水面寬為（米）；
（Ⅱ）利用定積分求出曲面的面積，再利用柱體的體積公式求出體積；
（Ⅲ）易知為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切，設切點是拋物線弧上的一點，過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是，記梯形的面積為，則，利用基本不等式求出當且僅當，時，等號成立，所以改挖后的溝底寬為米時，所挖的土最少.
試題解析：（Ⅰ）如圖建立直角坐標系，

設拋物線方程為．
則由拋物線過點，可得．
于是拋物線方程為．
當時，，由此知水面寬為（米）．
（Ⅱ）（立方米）
（Ⅲ）為使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須同拋物線相切．
設切點是拋物線弧上的一點，過作拋物線的切線得到如上圖所示的直角梯形，則切線的方程為：，于是．
記梯形的面積為，則，
當且僅當，時，等號成立，所以改挖后的溝底寬為米時，所挖的土最少.
考點：1.拋物線的標準方程；2.定積分的應用；3.基本不等式在求函數的最值中的應用.