Question

已知數(shù)列的前項和（為正整數(shù)）
（1）令，求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）令，，試比較與的大小，并予以證明

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析

試題分析：（1）由題意數(shù)列的前項和表達式，先根據(jù)求數(shù)列的通項的遞推關系式，再求數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項求數(shù)列的通項；（2）由（1）所求數(shù)列的通項先得，再利用錯位相減法求得表達式，再把與作差比較大小，可利用數(shù)學歸納法證明
試題解析：（I）在中，令n=1，可得，即
當時，，


又數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列
于是
(II)由（I）得，所以


由①-②得


于是確定的大小關系等價于比較的大小
由
可猜想當證明如下：
證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。
（2）假設時，，
所以當時猜想成立，
綜合（1）（2）可知，對一切的正整數(shù)，都有
證法2：
當時
，
綜上所述，當時，；當時項和；2、錯位相減法求和；3、作差比較法