Question

已知函數，（是不同時為零的常數），其導函數為。

（1）當時，若存在，使成立，求的取值范圍；

（2）求證：函數在內至少有一個零點；

（3）若函數為奇函數，且在處的切線垂直于直線，關于的方程在上有且只有一個實數根，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）當時，==，其對稱軸為直線，

當 解得，當無解，

所以的的取值范圍為．………………………………………………………4分

（2）因為，

法一：當時，適合題意.…………………………………6分

當時，，令，則，

令，因為，

當時，，所以在內有零點．

當時，，所以在（內有零點．

   因此，當時，在內至少有一個零點．

綜上可知，函數在內至少有一個零點．…………………………………10分

法二：，，

由于不同時為零，所以，故結論成立．

 (3)因為=為奇函數，所以, 所以，

又在處的切線垂直于直線，所以，即．

因為，所以在上是増函數，在上是減函數，由解得，如圖所示，

當時，，即，解得；

當時， ，解得；

當時，顯然不成立；

當時，，即，解得；

當時，，故．

所以所求的取值范圍是，或．

（以上各題如考生另有解法，請參照本評分標準給分）