Question

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數，n為正整數．
（Ⅰ）證明：當λ≠-18時，數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）設S_n為數列{b_n}的前n項和，是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假設存在一個實數?，使{a_n}是等比數列，由題意知（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．所以{a_n}不是等比數列．
（Ⅱ）由題設條件知b₁=-（λ+18）≠0.bn≠0，∴

bn+1

bn

=-

2

3

(n∈Nn)，故當λ≠-18，時，數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

2

3

為公比的等比數列．
（Ⅲ）由題設條件得bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，由此入手能夠推出存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12；λ的取值范圍為（-∞，-6）．

解答：解：（Ⅰ）證明：假設存在一個實數?，使{a_n}是等比數列，則有a₂²=a₁a₂，即
（

2

3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比數列．
（Ⅱ）證明：∵bn+1=(-1)n+1[aa+1-3{n+1}+21]=(-1)n+1(

2

3

an-2n+14)
=-

2

3

(-1)，(an-3n+21)=-

2

3

bn．
λ≠-18，∴b₁=-（λ+18）≠0．
由上式知bn≠0，∴

bn+1

bn

=-

2

3

(n∈Nn)，
故當λ≠-18，時，數列{b_n}是以-（λ+18）為首項，-

2

3

為公比的等比數列．
（Ⅲ）當λ≠-18時，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，
于是Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，
當λ=-18時，b_n=0，從而S_n=0．上式仍成立．
要使對任意正整數n，都有S_n＞-12．
即-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]＞12?λ

20

1-(- 2 3 )n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，則
當n為正奇數時，1＜f(n)≤

5

3

：當n為正偶數時，

5

9

≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值為f(1)=

5

3

．
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6．
綜上所述，存在實數λ，使得對任意正整數n，都有S_n＞-12；λ的取值范圍為（-∞，-6）．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要注意公式的靈活運用．