【題目】已知函數
，
.
（1）當
，
時，求函數
的最大值；
（2）若函數存在唯一零點
，且
，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）1；（2）
.
【解析】
（1）當
時，求得
，根據導數求得函數的單調性，進而求得函數的最大值，得到答案．
（2）求得
，分類討論求得函數的單調區間，結合題意和函數零點的概念，即可求解．
（1）當時，函數
，則
，
當
或
時，
；
當
時，
，
所以函數
在
，
上單調遞增，在
上單調遞減，
又由
，
，
所以
時，的最大值為1.
（2）由函數
，則，
①當
時，由，得或
，在
上是增函數，
又由
，
，
∴在
上有零點，不合題意，
②當
時，
有兩個實數根，即函數有兩個零點，不合題意，
③當
時，由，得
，由，得
或
，
所以函數單調增區間為
，單調減區間為
，
，
因為函數存在唯一零點
，且
，
則滿足
，即
，因為，所以
，
又由
，且，
所以有唯一零點，且
，
所以實數
的取值范圍是
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右焦點為
，過作
軸的垂線交橢圓
于點
（點在軸上方），斜率為
的直線交橢圓于，
兩點，過點作直線
交橢圓于點
，且
，直線交
軸于點
.
（1）設橢圓的離心率為
，當點為橢圓的右頂點時，的坐標為
，求的值.
（2）若橢圓的方程為
，且
，是否存
在使得
成立？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
、
是雙曲線
的兩個頂點，點
是雙曲線上異于、的一點，
為坐標原點，射線
交橢圓
于點
，設直線
、
、
、
的斜率分別為
、
、
、
.
（1）若雙曲線
的漸近線方程是
，且過點
，求的方程；
（2）在（1）的條件下，如果
，求
的面積；
（3）試問：
是否為定值？如果是，請求出此定值；如果不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設數集
由實數構成，且滿足：若
（
且
），則
.
（1）若
，試證明中還有另外兩個元素；
（2）集合是否為雙元素集合，并說明理由；
（3）若中元素個數不超過8個，所有元素的和為
，且中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校高二理科1班共有50名學生參加學業水平模擬考試，成績（單位：分，滿分100分）大于或等于90分的為優秀，其中語文成績近似服從正態分布
，數學成績的頻率分布直方圖如圖.
（1）這50名學生中本次考試語文、數學成績優秀的大約各有多少人？
（2）如果語文和數學兩科成績都優秀的共有4人，從語文優秀或數學優秀的這些同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都優秀的有X人，求X的分布列和數學期望；
（3）根據（1）（2）的數據，是否有99%以上的把握認為語文成績優秀的同學，數學成績也優秀？
語文優秀 | 語文不優秀 | 合計 | |
數學優秀 | |||
數學不優秀 | |||
合計 |
附：①若
，則
，
；②
；
③
| 0.1 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | p>0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】假設國家收購某種農產品的價格是1.2元/kg，其中征稅標準為每100元征8元（即稅率為8個百分點，8%），計劃可收購
kg.為了減輕農民負擔，決定稅率降低
個百分點，預計收購可增加
個百分點.
（1）寫出稅收
（元）與的函數關系；
（2）要使此項稅收在稅率調節后不低于原計劃的78%，確定的取值范圍.
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