Question

已知函數f（x）=x^k+b（常數k，b∈R）的圖象過點（4，2）、（16，4）兩點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數g（x）的圖象與函數f（x）的圖象關于直線y=x對稱，若不等式g（x）+g（x-2）＞2ax+2恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若P₁，P₂，P₃，…，P_n，…是函數f（x）圖象上的點列，Q₁，Q₂，Q₃，…，Q_n，…是x正半軸上的點列，O為坐標原點，△OQ₁P₁，△Q₁Q₂P₂，…，△Q_n-1Q_nP_n，…是一系列正三角形，記它們的邊長是a₁，a₂，a₃，…，a_n，…，探求數列a_n的通項公式，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）將（4，2）、（16，4）兩點坐標代入函數f（x）=x^k+b中，即可求出k、b的值，進而求得函數f（x）的解析式；
（2）根據前面求得的f（x）的解析式和題中已知條件可知函數g（x）的解析式，令g（x）+g（x-2）＜2ax+2，便可求出a的取值范圍；
（3）根據前面求得的函數結合題中已知條件便可求出an與an+1的關系，便可求得數列a_n的通項公式．

解答：解：（1）

2=4k+b 4=16k+b

?b=0，k=

1

2

?f(x)=

x

（2）g（x）=x²（x≥0）
g（x）+g（x-2）＞2ax+2
?

x-2≥0 x2+(x-2)2＞2ax+2

原問題等價于a＜x+

1

x

-2在x∈[2，+∞）恒成立，
利用函數y=x+

1

x

-2在區間[2，+∞）上為增函數，
可得a＜

1

2

；
（3）由

y= x y= 3 x

?x=

1

3

?a1=

2

3

，
由

y= x y= 3 (x-Sn-1)

?

3

x-

x

-

3

Sn-1=0?x=

1+6Sn-1+ 1+12Sn-1

6

，
將x代入an=2(x-Sn-1)=

1

3

+

1

3

1+12Sn-1

，
∴(an-

1

3

)2=

1

9

•(1+12Sn-1)且a1=

2

3

，
又(an+1-

1

3

)2=

1

9

•(1+12Sn)，
兩式相減可得：(an+1-

1

3

)2-(an-

1

3

)2=

4

3

an?(an+1-

1

3

)2=(an+

1

3

)2?(an+1+an)(an+1-an-

2

3

)=0，
又，因為a_n＞0，所以an+1-an-

2

3

=0，
從而a_n是以

2

3

為首項，

2

3

為公差的等差數列，即an=

2n

3

．

點評：本題主要考查了函數解析式的求法以及數列與函數的綜合，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．