Question

如圖，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁B₁B⊥底面ABC，側棱AA₁與底面ABC成60° 的角，AA₁=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段BC₁上一點，且BE=BC₁．
（1）求證：GE∥側面AA₁BB；
（2）求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值．

Answer 1

解：（1）延長B₁E交BC于F，
∵△B₁EC₁∽△FEB，BE=EC₁
∴BF=B₁C₁=BC，從而F為BC的中點． （2分）
∵G為△ABC的重心，
∴A、G、F三點共線，且=，
∴GE∥AB₁，
又GE?側面AA₁B₁B，AB₁?側面AA₁B₁B，
∴GE∥側面AA₁B₁B （4分）
（2）在側面AA₁B₁B內，過B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，
∵側面AA₁B₁B⊥底面ABC，
∴B₁H⊥底面ABC．又側棱AA₁與底面ABC成60°的角，AA₁=2，
∴∠B₁BH=60°，BH=1，B₁H=（6分）
在底面ABC內，過H作HT⊥AF，垂足為T，連B₁T．由三垂線定理有B₁T⊥AF，又平面B₁GE與底面ABC的交線為AF，
∴∠B₁TH為所求二面角的平面角（8分）
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，
∴HT=AHsin30°=，
在Rt△B₁HT中，tan∠B₁TH=（10分）
從而平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為arctan （12分）．
分析：（1）欲證GE∥側面AA₁B₁B，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證GE與側面AA₁B₁B 內一直線平行，延長B₁E交BC于F，而GE∥AB₁，GE?側面AA₁B₁B，AB₁?側面AA₁B₁B，滿足定理的條件；
（2）過B₁作B₁H⊥AB，垂足為H，在底面ABC內，過H作HT⊥AF，垂足為T，連B₁T，根據二面角平面角的定義可知∠B₁TH為所求二面角的平面角，在Rt△B₁HT中求出此角的正切值即可．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及二面角的度量等基礎知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力，屬于中檔題，本題解題的關鍵是找出二面角的平面角，放在一個可解的三角形中解出結果．