Question

如圖是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁=3，AB=2，若N為棱AB中點．
（1）求證：AC₁∥平面CNB₁；
（2）求四棱錐C₁-ANB₁A₁的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）連接BC₁和CB₁交于O點，連ON．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴O為BC₁的中點．又N為棱AB中點，
∴在△ABC₁中，NO∥AC₁，
又NO?平面NB₁C，AC₁不屬于平面NB₁C，
∴AC₁∥平面NB₁C；（6分）

（Ⅱ）∵ANB₁A₁是直角梯形，AN=1，A₁B₁=2，AA₁=3，∴四邊形ANB₁A₁面積為，
∵CN⊥平面ANB₁A₁，∴四棱錐C-ANB₁A₁的體積為．（13分）
分析：（1）要證：AC₁∥平面CNB₁，先在平面CNB₁內作出直線NO，O為BC₁的中點，證明NO∥AC₁，即可．
（2）求四棱錐C₁-ANB₁A₁的體積．需要先求底面面積，再求高CN，然后求出體積．
點評：本題考查直線和平面的平行的判斷，考查棱錐的體積，空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．