Question

【題目】設(shè)函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）若在定義域上是增函數(shù)，求的取值范圍；

（2）若直線是函數(shù)的切線，求實數(shù)的值；

（3）當(dāng)時，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）首先求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，由在上是增函數(shù)

即在上恒成立；即在上恒成立

設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)切點為，則，再由切線的斜率為零得到，所以，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，即可求出參數(shù)的值；

（3）由，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到，最后利用基本不等式即可得證；

解：（1）函數(shù)的定義域為，，

∵在上是增函數(shù)

∴在上恒成立；即在上恒成立

設(shè)，則

由得

∴在上為增函數(shù)；即

∴.

（2）設(shè)切點為，則，

因為，所以，得，

所以.

設(shè)，則，

所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，單調(diào)遞減，

所以.

因為方程僅有一解，

所以.

（3）因為，

設(shè)，則，所以在單調(diào)遞增.

因為，，

所以存在，使得.

當(dāng)時，，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，，單調(diào)遞增，

所以.

因為，所以，，

所以.