Question

【題目】已知sinα＋cosα＝，，，

(1)求sin2α和tan2α的值；

(2)求cos(α＋2β)的值．

Answer 1

【答案】(1) sin2α＝，tan2α＝，（2）cos(α＋2β)＝－

【解析】

（1）把已知條件兩邊平方，然后利用同角三角函數間的關系及二倍角的正弦函數公式化簡可得sin2α的值，根據2α的范圍利用同角三角函數間的關系求出cos2α即可得到tan2α的值；

（2）根據β的范圍求出的范圍，由sin（）的值利用同角三角函數間的關系求出cos（）的值，然后利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的關系分別求出sin2β和cos2β的值，根據第一問分別求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用兩角和的余弦函數公式化簡后，將每個三角函數值代入即可求出．

(1)由題意得(sinα＋cosα)2＝，即1＋sin2α＝，∴sin2α＝.

又2α∈(0，)，∴cos2α＝＝，∴tan2α＝＝.

(2)∵β∈(，)，β－∈(0，)，∴cos(β－)＝，

于是sin2(β－)＝2sin(β－)cos(β－)＝.

又sin2(β－)＝－cos2β，∴cos2β＝－.又2β∈(，π)，∴sin2β＝.

又cos2α＝＝，∴cosα＝，sinα＝(α∈(0，))．

∴cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×(－)－×＝－.