Question

若三棱錐V-ABC中，O為頂點V在底面ABC上的射影．在下列情形下：①VA=VB=VC；②VA，VB，VC兩兩垂直；③V到底邊三角形的邊AB、BC、AC的距離都相等；則點O分別對應①、②、③各為△ABC的（　　）

A．外心、垂心、內心

B．外心、重心、內心

C．內心、垂心、外心

D．重心、垂心、外心

Answer 1

分析：由已知中O為頂點V在底面ABC上的射影，則VO⊥底面ABC，由①可得OA=OB=OC，即O為三角形外接圓圓心；由②得O為三角形ABC三條高線的交點，即O為三角形的垂心；由③得O到三角形三邊的距離相等，即O為三角形內切圓圓心；

解答：解：∵O為頂點V在底面ABC上的射影，則VO⊥底面ABC
若VA=VB=VC，則Rt△VOA≌Rt△VOB≌Rt△VOC，則OA=OB=OC，則O為三角形外心；
若VA，VB，VC兩兩垂直，則VA⊥BC，VO⊥BC，由線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面VOA，則BC⊥AO，即延長AO可得BC邊上的高，故O為三角形垂心；
若V到底邊三角形的邊AB、BC、AC的距離VD，VE，VF都相等，則Rt△VOD≌Rt△VOE≌Rt△VOF，則OD=OE=OF，則O為三角形內心；
故選A

點評：本題考查的知識點是棱錐的結構特征，三角形四心，熟練掌握棱錐的幾何特征，并由此分析出O點在底面上的幾何特征是解答的關鍵．