Question

【題目】如圖所示的幾何體中，四邊形為菱形， ， ， ， ，平面平面， ， 為的中點， 為平面內任一點.

（1）在平面內，過點是否存在直線使？如果不存在，請說明理由，如果存在，請說明作法；

（2）過， ， 三點的平面將幾何體截去三棱錐，求剩余幾何體的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）.

【解析】試題分析：

(1)利用線面平行的判斷定理結合題意可知點G存在；

(2)利用題意將所要求解的多面體的體積進行分解可得幾何體的體積.

試題解析：

（1）過點存在直線使，理由如下：

由題可知為的中點，又為的中點，

所以在中，有.

若點在直線上，則直線即為所求作直線，

所以有；

若點不在直線上，在平面內，

過點作直線，使，

又，所以，

即過點存在直線使.

（2）連接， ，則平面將幾何體分成兩部分：

三棱錐與幾何體（如圖所示）.

因為平面平面，且交線為，

又，所以平面.

故為幾何體的高.

又四邊形為菱形， ， ， ，

所以 ，

所以 .

又，所以平面，

所以 ，

所以幾何體的體積 .