Question

如圖所示，上午11時在某海島上一觀察點A測得一輪船在海島北偏東60°的C處，12時20分測得船在海島北偏西60°的B處，12時40分輪船到達了位于海島正西方且距海島5km的E港口，輪船始終以勻速直線前進．
（Ⅰ）求觀測點A與B之間的距離；
（Ⅱ）求輪船的速度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，可知BC=4BE，設BE=xkm，則BC=4xkm在三角形EAC中，由正弦定理求得sinC，再在△ABC中，由正弦定理，求得AB即可得出觀測點A與B之間的距離；
（Ⅱ）先△ABE中，由余弦定理，得BE的長，從而得出船速即可．

解答：解：（Ⅰ）依題意，上午11時在某海島上一觀察點A測得一輪船在海島北偏東60°的C處，12時20分測得船在海島北偏西60°的B處，12時40分輪船到達了位于海島正西方且距海島5km的E港口，輪船始終以勻速直線前進．
可知BC=4BE（1分）
設BE=xkm，則BC=4xkm
由已知，得∠BAE=30°，∠EAC=150°，
由正弦定理得

EC

sin∠EAC

=

AE

sinC

，所以sinC=

AE•sinEAC

EC

=

5sin150°

5x

=

1

2x

（5分）
在△ABC中，由正弦定理，得

BC

sin120°

=

AB

sinC

，（7分）
∴AB=

BC•sinC

sin120°

=

4x• 1 2x

3 2

=

4 3

3

．（9分）
所以觀測點A與B之間的距離為

4 3

3

km（10分）
（Ⅱ）△ABE中，由余弦定理，得BE²=AB²+AE²-2AB•AE•cos30°=

16

3

+25-2×

4 3

3

×5×

3

2

=

31

3

（13分）
所以船速v=

BE

t

=

93 3

1 3

=

93

（14分）
答：該船的速度為

93

km/h（15分）

點評：本題是中檔題，考查利用正弦定理、余弦定理在實際問題中的應用，注意選擇正確的三角形以及合理的定理解答是解好題目的關鍵，考查計算能力．