Question

經過原點的直線l被圓C：x²+y²-2x+2

3

y+2=0截得的弦長為2，則l的傾斜角大小為（　　）

A．30°

B．150°

C．30°或90°

D．150°或90°

Answer 1

分析：把圓C的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑r，分兩種情況考慮：當直線l的斜率不存在時，可得直線l即為y軸，滿足被圓C截得的弦長為2，此時直線l為90°；當直線l的斜率存在時，設直線k的斜率為k，又直線l過原點，表示出直線l的方程，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，由垂徑定理及勾股定理得出d與r的關系式，將表示出的d及已知的r代入，得到關于k的方程，求出方程的解可得出k的值，再根據直線傾斜角與斜率的關系可得此時直線l的傾斜角，綜上，得到所有滿足題意的直線l的傾斜角的大小．

解答：解：將圓C化為標準方程得：（x-1）²+（y+

3

）²=2，
∴圓心坐標為（1，-

3

），半徑r=

2

，
當直線l的斜率不存在時，顯然直線l為y軸時，滿足題意，此時l的傾斜角為90°；
當直線l的斜率存在時，設斜率為k，又直線l過原點，
∴直線l的方程為y=kx，即kx-y=0，
∴圓心到直線的距離d=

|k+ 3 |

1+k2

，又r=

2

，
∴2=2

r2-d2

，即r²=d²+1，
∴

(k+ 3 )2

1+k2

+1=（

2

）²，
整理得：1+k²=k²+2

3

k+3，即2

3

k=-2，
解得：k=-

3

3

，
設此時直線l的傾斜角為α，則有tanα=k=-

3

3

，
∴α=150°，
綜上，l的傾斜角大小為90°或150°．
故選D

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，以及直線傾斜角與斜率的關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，以及特殊角的三角函數值，利用了分類討論的思想，當直線與圓相交時，常常利用垂徑定理由垂直得出中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．