Question

【題目】關于x的不等式ax2﹣3x+4≤b的解集為[a，b]，則b－a＝________．

Answer 1

【答案】4

【解析】

設f（x）x2﹣3x+4，其函數圖象是拋物線，畫兩條與x軸平行的直線y＝a和y＝b，如果兩直線與拋物線有兩個交點，得到解集應該是兩個區間；此不等式的解集為一個區間，所以兩直線與拋物線不可能有兩個交點，所以直線y＝a應該與拋物線只有一個或沒有交點，所以a小于或等于拋物線的最小值且a與b所對應的函數值相等且都等于b，利用f（b）＝b求出b的值，由拋物線的對稱軸求出a的值，從而求出結果．

解：畫出函數f（x）＝x2﹣3x+4＝（x－2）2＋1的圖象，如圖，

可得f（x）min＝f（2）＝1，

由圖象可知，若a>1，則不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集分兩段區域，不符合已知條件，

因此a≤1，此時a≤x2－3x＋4恒成立．

又不等式a≤x2－3x＋4≤b的解集為[a，b]，

所以a≤1<b，f（a）＝f（b）＝b，可得

由b2－3b＋4＝b，化為3b2－16b＋16＝0，

解得b＝或b＝4.

當b＝時，由a2－3a＋4－＝0，解得a＝或a＝，

不符合題意，舍去，

所以b＝4，此時a＝0，

所以b－a＝4.

故答案為：4