Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a．b．c，且a2-(b-c)2=(2-

3

)bc，sinAsinB=cos2

C

2

，BC邊上中線AM的長為

7

．
（Ⅰ）求角A和角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）將a2-(b-c)2=(2-

3

)bc展開，根據余弦定理可求出cosA的值，進而得到角A的值；將角A的值代入sinAsinB=cos2

C

2

，再運用余弦函數的二倍角公式可得到sinB=1+cosC，再由B+C=

5

6

π可求出角C的值，最后根據三角形內角和為180°得到角B的值．
（2）先設出AC的長，根據余弦定理可求出x，再由三角形的面積公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）由a2-(b-c)2=(2-

3

)bc得a2-b2-c2=-

3

bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，A=

π

6

.
由sinAsinB=cos2

C

2

，得

1

2

sinB=

1+cosC

2

即sinB=1+cosC
則cosC＜0，即C為鈍角，故B為銳角，且B+C=

5

6

π
則sin(

5

6

π-C)=1+cosC?cos(C+

π

3

)=-1?C=

2

3

π故B=

π

6

．
（Ⅱ）設AC=x，由余弦定理得AM2=x2+

x2

4

-2x•

x

2

•(-

1

2

)=

7

2
解得x=2故S△ABC=

1

2

•2•2•

3

2

=

3

．

點評：本題主要考查余弦定理和三角形面積公式的應用．在做這種題型時經常要用三內角之間的相互轉化，即用其他兩個角表示出另一個的做法．