Question

在直二面角α-β-l中，A∈α，B∈β，AB與α所成角為x，AB與β所成角為y，AB與l所成的角為z，則cos²x+cos²y+sin²z=

2

．

Answer 1

分析：先分別作出AB與α所成角為x，AB與β所成角為y，AB與l所成角為z，再利用三角函數求解即可．

解答：解：過A、B分別作AC⊥l于C，BD⊥l于D，過B作直線平行于l，過C作直線平行于BD，兩直線交于E，連接AD、AC、AE．
因α一l一β為直二面角，BD在β上，l=α∩β，BD⊥l，故BD⊥α．同理AC⊥β．
又∠BAD、∠ABC分別為AB與α、β所成的角，有∠BAD=x，∠ABC=y．
又EC∥BD，EC⊥l，AC⊥β，有AE⊥l，AE⊥BE，∠EBA=z．
∴cos²x+cos²y+sin²z=

AD2

AB2

+

BC2

AB2

+

AE2

AB2

=2
故答案為：2

點評：本題的考點是與二面角有關的立體幾何綜合，主要考查線面角，線線角，考查求三角函數的值，關鍵是正確找出相應的角．