Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多作，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將選題號填入括號中．
（1）選修4一2：矩陣與變換
求矩陣A=

2，1 3，0

的特征值及對應的特征向量．
（2）選修4一4：坐標系與參數方程
已知直線l的參數方程：

x=t y=1+2t

（t為參數）和圓C的極坐標方程：ρ=2

2

sin(θ+

π

4

)．
（Ⅰ）將直線l的參數方程化為普通方程，圓C的極坐標方程化為直角坐標方程；
（Ⅱ）判斷直線l和圓C的位置關系．
（3）選修4一5：不等式選講
已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a，b∈R）恒成立，求實數x的范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．
（2）（Ⅰ）將直線l的參數方程的參數t消去即可求出直線的普通方程，利用極坐標轉化成直角坐標的轉換公式求出圓的直角坐標方程；
（Ⅱ）欲判斷直線l和圓C的位置關系，只需求圓心到直線的距離與半徑進行比較即可，根據點到線的距離公式求出圓心到直線的距離然后與半徑比較．
（3）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），且a≠0，得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）則可以求出左式的最小值，使得f（x）小于等于最小值即可，從而得到解不等式|x-1|+|x-2|≤2即得．

解答：解：（1）設A的一個特征值為λ，由題意知：

.

λ-2  -1 -3   λ

.

=0，
所以（λ-2）λ-3=0，即λ₁=-1，λ₂=3．（3分）
將λ₁=-1代入特征方程組，得

-3x-y=0 -3x-y=0

⇒3x+y=0．
可取

1 -3

為屬于特征值λ₁=-1的一個特征向量．
將λ₂=3代入特征方程組，得

x-y=0 -3x+3y=0

⇒x-y=0．
可取

1 1

為屬于特征值λ₂=3的一個特征向量．
（2）（Ⅰ）消去參數t，得直線l的普通方程為y=2x+1（3分）
ρ=2

2

sin(θ+

π

4

），即ρ=2（sinθ+cosθ），兩邊同乘以ρ得ρ²=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐標方程為（x-1）²+（x-1）²=2（5分）
（Ⅱ）圓心C到直線l的距離d=

|2-1+1|

22+12

=

2 5

5

＜

2

，所以直線l和⊙C相交（7分）
（3）由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x），且a≠0，得

|a+b|+|a-b|

|a|

≥f（x）（3分）
又因為

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，則有2≥f（x）（5分）
解不等式|x-1|+|x-2|≤2，得

1

2

≤x≤

5

2

（7分）

點評：本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算、簡單曲線的極坐標方程，以及直線的參數方程和直線與圓的位置關系的判定，帶絕對值的函數等基礎知識，屬于基礎題．