Question

設，橢圓方程為，拋物線方程為。如圖所示，過點

作軸的平行線，與拋物線在第一象限的交點為G。已知拋物線在點

G的切線經過橢圓的右焦點F1。

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；     (6分)

（2）設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，試探究在拋物線上是否存在點P，使得

△ABP為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由（不必具

體求出這些點的坐標）。(8分)

Answer 1

（本題滿分14分）

由得 

          當時，，G點的坐標為（4，b＋2）

     法一：GF的斜率，方程為

聯立與消去，由得

    法二： 過點G的切線方程為整理得， ，

         令y＝0得  ，點的坐標為 （2-b，0）；

       由橢圓方程得點的坐標為（b，0），

         即 b＝1，

   因此所求的橢圓方程及拋物線方程分別為和。

 （2）過A作x軸的垂線與拋物線只有一個交點P,

      以為直角的只有一個;

      同理以為直角的只有一個;

     若以為直角, 設P點的坐標為，則A、B坐標分別

為、

      由得，

     關于的一元二次方程有一解，x有二解，即以為直角的有二個;

     因此拋物線上共存在4個點使為直角三角形。